正六角形の書き方と展開図の書き方｜コンパス/定規/分度器

皆さんは図形を書くとき、正確に描くためにどんな方法をとっているでしょうか。フリーハンドで自分の感覚に頼るだけでは、正確な図形を描くことは難しいです。たとえば、正六角形の場合はいかがでしょうか。

今回は、正六角形の書き方を詳しく紹介します。

六角形といえば、6つの辺と頂点からなる多角形をさしますが、正六角形は全ての辺の長さと頂点の角度が等しい図形です。

ちなみに、正六角形の頂点を全て対角線で結ぶと正三角形が6つできます。三角形の内角の和は180°なので、正三角形のそれぞれの頂点の角度は60°となります。

これを正六角形にあてはめてみると、正六角形の頂点は正三角形の頂点2つ分にあたるため、正六角形の頂点の角度は120°となります。

左右対称の正六角形は、実は身の回りにあふれています。たとえば鉛筆です。鉛筆は正三角形、正五角形などもありますが、正六角形のものが多いです。

また、ハチの巣、ボルトやナットなどの金具も正六角形です。さらに、動物にも正六角形はあります。亀の甲羅の模様がそうです。正確には正六角形ではありませんが、亀の甲羅を象った日本の伝統的な模様である「亀甲」は正六角形であることが多いです。

コンパスを使った書き方を紹介しましょう。コンパスで正六角形を書く場合、簡単に作図することができます。

まず、コンパスを使って一つの円を書きます。このときの大きさはどれくらいでも構いません。

きれいに書けたら、コンパスの幅はそのままに、針を円周上に移動させます。円周上のどこでも構わないので、線の上を視点とし、同じ円周上にコンパスで印をつけます。今度はその印をつけた地点を視点として、また同じように円周上に印をつけます。

これを6回繰り返すと、円周上に等間隔で6つの印がつきます。この点を全て結べば正六角形の完成です。

正六角形はコンパスで書く書き方がもっとも正確で簡単ですが、コンパスを使わない書き方もあります。

少々手間がかかり、正確な正六角形にはならないものもありますが、道具を使う書き方、使わない書き方をいくつか紹介しましょう。

もっともやりやすく手間のかからない書き方を紹介しましょう。

まず、一辺は何cmでも構わないので、4×4の方眼を書いてください。1マスは全てが正方形になるようにしましょう。全ての基準となる長さは、方眼2マス分の長さです。これが正六角形1辺の長さとなります。

方眼は外側の12マスのみを使用します。どこからでもいいのですが、ここでは右から始めてみましょう。最初に頂点となるのは、最上段の外側、2マス目と3マス目の間です。この頂点から1段降り、右に2マス進みます。この1段目の下の線（2段目の上の線でもある）が次の頂点の場所となります。

ただ、一番端を頂点とすると正六角形にはなりません。最初に示した基準となる長さ、方眼2マス分の長さ分をきっちり測り、その地点を頂点としましょう。次はまっすぐ2マス分直線を下に向かって引くだけです。

この2つの作業を3回繰り返せば正六角形は完成です。

分度器での書き方は、角度がわかるので比較的簡単です。

正六角形の1辺の長さだけ決めておきましょう。まずはその1辺を書きます。次に、その1辺を基準とし、直線の片方の1端から120°の角度となる辺を伸ばします。あとは同じ作業を繰り返すだけです。

正六角形の頂点の角度が120°であることさえ覚えていれば、この書き方はコンパスの書き方に次いで簡単です。しかし、数学の作図はコンパスと定規を使う書き方が基本です。角度まで容易にわかってしまう分度器での書き方は邪道といえるでしょう。

フリーハンドでは、どんな正多角形でも正確に書くことはできません。また、数学においてはフリーハンドでの書き方では作図したと認められないでしょう。しかし、それらしく見えればいいのであれば書き方はいくつかあります。

思い切って一筆書きで書く書き方でもいいでしょう。また、直線を1本縦に引いて、なるべく左右対称になるように心がけて作図すればそれらしく見えます。

また、同じ長さの直線を3本重ねる方法もあります。この場合、角度が60°になるように意識して書きましょう。丸いホールケーキを6等分する感覚と同じなので、これをイメージしてみてください。最後に線の端をつないでいけば正六角形の完成です。

図形は、いくつかの図形を組み合わせることで多面体となります。例えば立方体は、6つの合同な正方形が組み合わさってできた多面体です。

正六角形の場合も、これを用いた多面体があります。その展開図と書き方について紹介します。

正六角形を使った多面体の代表的なものがサッカーボールです。さまざまなサッカーボールの模様もありますが、一般的なのは白と黒が組み合わさった模様のボールでしょう。このボールは、よく見ると正五角形と正六角形の2つの図形の組み合わせによってできています。黒い部分が正五角形、白い部分が正六角形です。

立方体や正三角錐の場合は、全て合同の図形の組み合わせによる多面体のため「正多面体」と呼ぶことができますが、サッカーボールは正五角形と正六角形の2種類が混ざっているので「半多面体」となります。

半多面体にもさまざまな種類がありますが、サッカーボールの形は「切頂二十面体」といいます。

残念ながら、正六角形の正多面体は存在しません。半多面体では、サッカーボールのように正五角形との組み合わせがいくつかあるのみです。

正多面体ができるかどうかは、図形の内角の大きさによって決まります。内角の大きすぎる正六角形では正多面体を作ることは不可能です。

正多面体となる図形は正五角形までで、この多面体は正十二面体といいます。

サッカーボールが正五角形と正六角形によってできていることはすでに紹介しました。具体的には、正五角形12枚、正六角形20枚からなります。

これを書くとなると、まず正五角形の書き方が難しいため容易にはできません。

書き方としては、最初に正三角形を作り、それを20枚並べて書く方法があります。以下のサイトを参照して作ってみてください。

展開図は、図形を横に3つか4つ並べるものが縦に10段続くイメージです。

一番上の左2つが正六角形ならば一番右が正五角形、すぐ下の段は一つ右にずれた形となり、図形が4つ並びます。このときの両端は正五角形です。続く3段目は1段目と同じ向き・同じ配列（左2つが正六角形、右が正五角形）となり、その下は左の一つが正五角形、右2つが正六角形となります。

あとは互い違いに作図します。最後から2段目の9段目は、2段目と同様に図形が4つ連なり、両端が正五角形となります。

正六角形の書き方、正六角形を用いた多面体の展開図の書き方をいくつか紹介しました。図形は簡単にできているようで、それを正確に書いてみようと思うと難しいです。

特に、全ての辺と頂点の角度が等しい正多角形を書くのは容易ではありません。左右対称である正六角形もその例にもれません。

もっとも正確に、そして数学らしい方法をとるのであれば、コンパスと定規を使って丁寧に書く書き方がおすすめです。正確に書くなら分度器だけでも簡単に書くことはできますが、この書き方は少々手間がかかるうえに、テストなど公式な場では分度器の使用を認めないことが多いため、頼ることができません。

とはいえ、さまざまな書き方を覚えておいて損はないでしょう。自分に合った正六角形の書き方を見つけてみてください。